Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Ons het geleer van optel van matrikse, aftrek van matrikse,
matriks vermenigvuldiging.
So jy wonder dalk, is daar die
gelykstaande aan matriks deling?
En voor ons daar uitkom, laat ek 'n paar
konsepte aan jou verduidelik.
En dan sal ons sien daar is iets wat dalk nie
presies deling is nie, maar dit is gelyksoortig daar aan.
So voor dat ons dit voorstel, Gaan ek jou voorstel aan
die konsep van 'n identiteitsmatriks.
So 'n identiteitsmatriks is 'n matriks.
En ek sal dit voorstel met 'n hoofletter I.
Wanneer ek dit maal met 'n ander matriks-- eintlik weet
ek nie of ek hierdie punt hier moet sit nie-- maar in elk geval,
wanneer ek maal met 'n ander matriks
kry ek daardie ander matriks.
Of wanneer ek daardie matriks maal met die identiteitsmatriks,
kry ek die matriks weer.
En dit is belangrik om agter te kom wanneer ons matriks
vermenigvuldiging doen, dat rigting saak maak.
Ekt eintlik hier inligting gegee wat--ons
kan nie net aanneem dat wanneer ons gewone matriks vermenigvuldiging doen
dat a maal b is gelyk aan b maal a nie.
Dit is belangrik wanneer ons matriks vermenigvuldiging doen,
om te bevestig dat dit saak maak in watse rigting
jy maal.
Maar in elk geval, en hierdie werk altwee kante toe net as ons
werk met vierkantige matrikse.
dit kan werk in een rigting, of die ander as die matriks
nie vierkantig is, maar nie in altwee nie.
En jy kan *** hiervan op dieselfde manier as waarin
ons matriks vermenigvuldiging gedoen het, hoekom dit gebeur.
maar in elk geval, ek het hierdie matriks gedefinieer.
Nou hoe lyk hierdie matriks eintlik?
Dit is eintlik redelik maklik.
As ons 'n 2 by 2 matriks het, die identiteitsmatriks is 1, 0, 0, 1.
As jy 3 by 3 wil he, is dit 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
Ek *** jy sien die patroon.
As jy 'n 4 by 4 wil he, is die identiteitsmatriks 1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.
So jy kan sien al wat enige matriks is, vir enige gegewe
dimensie-- Ek bedoel ons kan hierdie uitbrei tot enige n by n
matriks-- is jy het net 1'e op die linker boonste tot
regter onderste diagonaal.
En alles anders is 0.
So ekt dit vir jou vertel.
Laat ons bewys dit werk rerig.
Kom ons vat hierdie matriks en maal dit
met 'n ander matriks.
En bevestig dat daardie matriks nie verander nie.
so as ons 1, 0, 0, 1 vat.
Kom ons maal dit met-- kom ons doen 'n algemene matriks.
net sodat jy kan sien dit werk vir alle getalle.
a, b, c, d.
...
So dit is gelyk aan wat?
...
Ons gaan hierdie ry maal met hierdie kolom.
1 maal a plus 0 maal c is a.
En daardie ry maal hierdie kolom.
1 maal b plus 0 maal d.
dit is b.
Dan hierdie ry maal hierdie kolom.
0 maal a plus 1 maal c is c.
Dan uiteindelik, hierdie ry maal hierdie kolom.
0 maal b plus 1 maal d.
wel, dit is slegs d.
Daar het jy dit.
En dit kan dalk 'n lekker oefening wees om dit
anders om te probeer.
En eintlik is dit selfs beter om dit te doen
met 'n 3 by 3.
En jy sal sien dit werk alles uit.
En 'n goeie oefening is vir jou om te ding oor hoekom dit werk.
En as jy *** daaroor, is dit omdat jy die
ry inligting kry van hier af, en jou kolom
inligting van hier af.
En basies, wanneer ookal jy maal, kom on se
hierdie vektor maal met hierdie vektor, maal jy die
ooreenstemmende terme en plus hulle dan, ne?
So as jy 'n 1 en 'n 0 het, die 0 gaan enigeiets
behalwe die eerste term in die kolom vektor uit kanselleer.
So dit was hoekom jy gelos word met net a.
En dit is hoekom dit alles gaan uit kanselleer behalwe die
eerste term in die kolom vektor.
En dit is hoekom net die b oorbly.
En ook, dit sal alles behalwe die
tweede term uit kanselleer.
Dit is hoekom jy net c hier oor het.
Hierdie maal hierdie.
Los jou met net c.
hierdie maal hierdie.
Los jou met net d.
En dieselfde geld ook wanneer jy 'n
3 by 3 of, 'n n by n vektore gebruik.
So dit is interessant.
Jy het die identiteitsvektor.
Nou as ons ons vergelyking wil klaar maak-- so
kom ons *** daaroor.
Wel ons weet in gewone wiskunde, as ons 'n 1 maal
a, kry mens a.
En ons weet ook dat 1 gedeel deur a-- dit is nou net gewone
wiskunde, dit het niks met matrikse te doen nie-- i gelyk aan 1.
En jy weet, ons noem hierdie die inverse van a.
En dit is dieselfde ding as om te deel met die nommer a.
So is daar 'n matriks ekwivalent?
Laat ek gou kleure verander, want ekt hierdie kleur al bietjie
te veel gebruik.
Is daar 'n matriks, waar as ek sou matriks a gehad het,
en ek maal dit met hierdie matriks-- en ek sal dit die
inverse van a noem-- is daar 'n matriks waar ek gelos word met, nie die nommer
1 nie, maar met die 1 ekwivalent
in die matriks wereld?
waar ek gelos word met die identiteitsmatriks?
En dit sal ekstra lekker wees as ek selfs hierdie
vermenigvuldiging kon rond skuif.
So A maal A inverse behoort gelyk te wees aan
die identiteitsmatriks.
En as jy daaroor ***, as altwee hierdie goed waar is,
dan is A inverse nie net die inverse van A nie, maar
A is ook die inverse van A inverse.
So hulle is mekaar se inverses.
Dit is al wat ek bedoel het om te se.
En toevallig is daar net so 'n matriks.
Dit word die inverse van A, soos
wat ek al 3 keer gese het
En nou sal ek jou wys hoe om dit uit te werk.
So kom ons doen dit.
En ons sal sien dat om dit vir 'n 2 by 2 uit te werk is redelik
voor die hand liggend.
Alhoewel jy dalk sal *** dat dit vreemd is hoe
mense die meganika agter dit uitgedink het, of die
algoritme vir dit.
3 by 3 word harig.
4 by 4 sal jou heel dag vat.
5 by 5, jy gaan amper definitief 'n nalatige fout maak
as jy die inverse van 'n 5 by 5 matriks.
En did is beter om dit te los vir 'n rekenaar.
Maar in elk geval, hoe werk ons die matriks uit?
So kom ons doen dit, en dan sal ons vasstel dat dit
die inverse is.
So as ek die matriks A het, en dit is a, b, c, d.
En ek sy inverse kry.
Die inverse is eintlik-- en hierdie gaan
lyk soos voodoo.
In toekomstige videos, ek sal vir jou 'n bietjie meer
intuïsie gee vir hoekom dit werk, of ek sal eintlik vir jou wys hoe
die tot bestaan gekom het.
Maar vir nou is dit amper beter om net die stappe te memoriseer,
net sodat jy die selfvertroue het dat jy weet dat
jy kan 'n inverse uitwerk.
Dit is gelyk aan 1 oor hierdie nommer maal hierdie. a maal d
minus b maal c.
ad minus bc.
En hierdie hoeveelheid hier onder, ad minus bc, dit noem ons
die determinant van die matriks A.
En ons gaan daardie maal.
Hierdie is net 'n nommer.
Hierdie in net 'n skalaar hoeveelheid.
En ons gaan dit maal met-- jy ruil
die a en die d.
Jy ruil die linker boonste en die regter onderste terms.
So jy het d en a oor.
En jy maak hierdie 2, jy maak die linker onderste en die
regter boonste, jy maak hulle negatief.
So minus c minus b.
En die determinant-- weereens hierdie is net iets
wat jy op geloof gaan moet vat vir nou.
In toekomstige videos belowe ek om jou meer intuïsie te gee.
Maar dit is redelik gesofistikeerd om te leer wat
die determinant is.
En as jy hierdie doen in jou hoerskool klas, jy hoef
eintlik net te weet hoe om dit uit te werk.
Alhoewel ek nie daarvan hou om dit vir jou te se nie.
So wat is hierdie?
Hierdie word ook die determinant van A genoem.
So jy sal dalk in die eksamen iets sien soos, werk uit wat
die determinant van A is.
So laat ek jou net dit vertel.
En dit word voorgestel deur A in absolute waarde tekens.
en dit is gelyk aan ad minus bc.
So 'n ander manier om dit te se, hierdie kan wees 1 gedeel deur
die determinant.
So jy kan se A inverse is gelyk aan 1 gedeel met
determinant van A maal d minus b minus c, a.
enige manier wat jy daarna kyk.
Maar kom ons gebruik hierdie op 'n regte probleem, en jy sal sien dat
dit nie eintlik so erg is nie.
So kom ons verander die letters, net sodat jy weet dit hoef nie
altyd A te wees nie
Kom ons se ek het 'n matriks B.
En die matriks B is 3-- ek gaan net ewekansige getalle
gebruik-- minus 4, 2 minus 5.
Kom ons werk B se inverse uit.
So B inverse gaan 1 gedeel met
die determinant van B.
Wat is die determinant?
Dit is 3 maal -5 minus 2 maal -4.
So 3 maal -5 is -15, -2 maal -4..
2 maal -4 is -8.
Ons gaan dit aftrek.
So dit is plus 8.
...
En ons gaan dit maal met wat?
Wel, ons het hierdie twee terme om geruil. So dit is -5 en 3.
En ons maak hierdie 2 terme negatief.
-2 en 4.
4 was -4, so nou word dit 4.
En kom ons sien of ons dit kan vereenvoudig.
So B inverse is gelyk aan -15 plus 8.
Dit is -7
So hierdie is 1 gedeel met 7.
So die determinant van B-- ons kan skryf B se determinant--
is gelyk aan -7.
So dit is -1/7 maal -5, 4, -2, 3.
Wat gelyk is aan-- hierdie is net 'n skalaar, dit is net 'n
nommer, so ons kan dit maal met elke element--
So dit is gelyk aan minus, minus, plus.
Dit is 5/7.
5/7 minus 4/7.
Kom ons sien
posetief 2/7.
...
En dan -3/7.
...
Dit is 'n bietjie harig.
Ons het op geeindig met breuke en sulke goed hier.
Maar laat ons vasstel dat hierdie rerig die inverse is
van die matriks B.
kom ons maal hulle uit.
So voordat ek dit doen moet ek eers plek maak.
...
Ek kort hierdie nie eers meer nie.
...
Daar het jy dit.
OK.
So kom ons bevestig dat daardie maal hierdie, of hierdie maal
daardie, is rerig gelyk aan die identiteitsmatriks.
SO kom ons doen dit.
So laat ek kleure verander.
So B inverse is 5/7, as ek nie
enige nalatige foute gemaak het nie.
-4/7
2/7.
en -3/7.
Dit is B inverse.
En laat ek daai maal met B.
3 minus 4.
2 minus 5.
En hierdie gaan die produk matriks wees.
Ek kort so bietjie plek om my wiskunde te doen.
...
Laat ek kleure verander.
Ek gaan hierdie ry maal met hierdie kolom.
So 5/7 maal 3 is wat?
15/7.
Plus -4/7 maal 2.
So -4/7 maal 2 is minus-- laat ek seker maak
dit is reg-- 5 maal 3 is 15/7.
-4 -- O ja, reg --4 maal 2, so -8/7.
...
Nou gaan ons hierdie ry maal met hierdie kolom.
So 5 maal -4 is 20/7.
Plus -4/7 maal -5.
Dit is plus 20/7.
My brein begin stadiger word, Om matriks
vermenigvuldiging te doen met breuke en negatiewe getalle.
Maar hierdie is 'n goeie oefening vir baie
dele van die brein.
maar in elk geval.
So laat ons afgaan, en hierdie term doen.
So nou gaan ons hierdie ry maal met hierdie kolom
so 2/7 maal 3 is 6/7.
plus -3/7 maal 2.
So dit is -6/7.
Een term oor.
Laaste deel.
2/7 maal -4 is -8/7.
...
plus -3/7 maal -5.
So daardie minusse kanselleer uit, en ons het 15/7 oor.
En as ons vereenvoudig, wat kry ons?
15/7 -8/8 is 7/7.
Wel dit is 1.
Hierdie is duidelik 0.
Hierdie is 0.
6/7 minus 6/7 is 0/
En dan -8/7 plus 15/7 dit is 7/7.
Dit is weer 1.
En daar het jy dit.
Ons het dit reg gekry om die inverse matriks te kry.
En dit was moeiliker om te bewys dat dit die inverse was
deur vermenigvuldiging, net want ons moes dit doen met al die breuke,
en negatiewe getalle.
Maar hopenlik is dit goed genoeg vir julle.
En as jy andersom kan probeer om te verseker dat
as jy dit andersom maal dat jy ook
die identiteitsmatriks kry.
Maar in elk geval, dit is hoe jy die inverse
van 'n 2 by 2 uitwerk.
En soos ons sal sien in die volgende video, om die
inverse van 'n 3 by 3 te doen is nog lekkerder.
Sien jou binnekort.
...