Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Evan van Noorwee het my gevra om nog 'n u substitusie
probleem te doen, en ek hou van hierdie want dit kry my momentum
aan die gang vir ander dinge wat dalk 'n bietjie
meer voorbereiding neem.
En die probleem wat hy aan my gestuur het-- en ek hoop ek spreek sy
naam reg uit-- was die onbepaalde integraal van sin van x oor
die cos van x kwadraat dx.
Dit kan ook geskryf word as-- hy het dit in 'n epos geskryf, so ek
weet nie presies hoe hy hy dit gesien het nie, maar dit kan ook geskryf word as sin
van x oor cos kwadraat van x.
Soms word dit so geskryf.
In elk geval, ek hou meer daarvan dat hierdie 'n bietjie beter is.
Dis bietjie minder dubbelsinnig.
Maar oor die algemeen weet jy hoe om u substitusie te doen, of integrasie
deur substitusie wanneer jy iets sien en jy sien sy
afgeleide ook daar sit.
Reg.
Jy's soos wow, as hierdie cos van x was net 'n x, of dit was
net 'n u, dan was dit rerig 'n maklike integraal om te doen.
Ons weet hoe om hierdie integraal te doen.
Laat ek dit hier aan die kant doen.
Hierdie integraal sou maklik wees.
1 oor x kwadraat dx.
Ons weet hoe om dit te doen.
Dit sou net die anti-afgeleide van x kwadraat wees.
Dis dieselfde ding as wat die anti-afgeleide van x tot die
minus 2 dx, en ons weet hoe om die anti-afgeleide te neem
van so iets.
Jy vermeerder die mag met 1, en dan maal jy dit met
wat jou nuwe eksponent is.
So dit sou minus x wees-- ekskuus.
Jy vermeerder jou eksponent met 1, en dan deel jy deur
watookal jou nuwe eksponent is.
So jy sou (laat ek net die)
die eksponent x vermeerder tot die minus 2, jy sou dit vermeerder
met die eksponent, jy so x tot die minus 1 kry.
En dan as jy hierdie deel deur minus 1 kry jy hierdie minus
voor, en dan natuurlik die plus C.
En as jy my nie glo nie, neem die anti-afgeleide.
Negatief 1 maal minus 1.
Dit word 'n plus.
En dan verminder jy die eksponent met 1,
sou jy x tot die minus 2 kry.
So as ons dit kon kry in 'n vorm wat lyk soos
hierdie, dan sou ons reg wees.
En jy sien soort van 'n patroon.
Waar hierdie x is het jy 'n cos daar, en dan het ons
cos se afgeleide daar.
So dis die groot leidraad dat ons u substitusie moet gebruik.
So kom ons doen dit.
En wat ons gaan doen is ons gaan u substiteer
vir cos van x.
So as ons se dat u gelyk is aan cos van x, en laat ons
die afgeleide neem van u met betrekking tot x.
So du/dx is gelyk waaraan?
Wat is die afgeleide van cos van x? Dis nie
heeltemal sin van x nie, ne?
Dis minus sin van x.
...
En dan kan ons albei kante maal met dx, en jy kry du is
gelyk aan minus sin van x dx.
Ek maal net albei kante met dx.
En dan het ons hierbo sin van x dx.
Ons het nie 'n minus sin van x dx nie.
Daar het ons sin van x dx.
Ons kon hierdie boonste integraal herskryf, ons kon
dit so herskryf.
Sin van x dx.
Alles van dit oor cos van x kwadraat.
So as ons gaan substiteer vir hierdie, het ons hier 'n minus.
Kom ons maal albei kante hiervan met 'n minus 1, en jy
kry minus du is gelyk aan sin van x dx.
En kom ons kyk.
So kom ons herskryf die oorspronklike probleem.
Nou weet ek ek raak uit spasie uit.
Laat ek dit herskryf.
So ons weet dat u gelyk is aan cos van x, so kom ons doen dit.
So nou word hierdie integraal-- en die noemer, in plaas van
cos van x kwadruut, u is cos van x.
Dis u, ne?
Ons het daardie definisie gemaak.
So dis oor u kwadraat.
Cos van x word u.
En dan sin van x dx daar bo, waaraan is dit gelyk?
Wel, ons het nou net hiervoor opgelos.
Dit is gelyk aan minus du.
Sin van x dx is gelyk aan minus du,
So dan kan ons hierdie vervang hiermee, minus du.
En dan het hierdie presies dieselfde vorm as
hierdie ding net hier.
Jy kan hierdie herskryf as, hierdie is gelyk aan, kom ons se
minus 1 oor u kwadraat du.
Ek skryf dit net op 'n klomp verskillende maniere.
Watookal makliker is vir jou om in te sien.
Dieselfde ding minus u tot die minus 2 du.
En dan doen ons hier dieselfde ding wat ons daarbo gedoen het,
alhoewel ons nou 'n minus voor het, dit maak dit eintlik
a bietjie netjieser.
Om die anti-afgeleide te neem, lig ons u-- dit was tot die minus tweede
mag, kom ons lig dit een mag *** as dit-- so
minus 2 plus 1 is minus 1.
So dis u tot die minus eende mag, en dan wil jy deel deur
minus 1 en ek sal dit hier eksplisiet doen.
Minus een.
En dan het jy hier hierdie negatief wat voorheen hier buite gesit het
so daardie minus gaan nogsteed daar wees.
En natuurlik gaan jy plus C he.
Jy kan hierdie sien as minus 1, of hierdie minus gedeel
deur 'n minus, hulle gaan uit kanselleer.
En dan los dit jou met net u tot die minus 1 plus C, of 1
oor u plus C is anti-afgeleide-- oh, jammer,
ons is nog nie klaar nie.
Dis net die anti-afgeleide hiervan.
En nou het ons ons substitusie om uit te sorteer.
Wat was ons substitusie waarmee ons begin het?
u is gelyk aan cos van x.
So as u gelyk is aan die cos van x, hierdie ding is gelyk aan 1
oor cos van x plus C is gelyk aan die anti-afgeleide of
ons oorspronklike probleem, dit was sin van x oor cos
van x kwadraat dx.
Daarsy.
Sien jou in die volgende video.
...